方法是一个汉语词汇，方法的含义较广泛，一般是指为获得某种东西或达到某种目的而采取的手段与行为方式。方法在哲学，科学及生活中有着不同的解释与定义， 以下是为大家整理的关于两动一定最小值问题的方法3篇 , 供大家参考选择。
两动一定最小值问题的方法3篇
【篇1】两动一定最小值问题的方法
Matlab求函数最小值
§1 线性规划模型一、线性规划课题： 实例 1：生产计划问题 假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有 A 类 3600 公斤，B 类 2000 公斤，C 类 3000公斤。每件甲产品需用材料 A 类 9 公斤，B 类 4 公斤，C 类 3 公斤。每件乙产品，需用材料 A 类 4 公斤，B 类 5 公斤，C 类 10 公斤。甲单位产品的利润 70 元，乙单位产品的利润 120 元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。 建立数学模型： 设 x1、x2 分别为生产甲、乙产品的件数。f 为该厂所获总润。 max f70x1120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0 实例 2：投资问题 某公司有一批资金用于 4 个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益投入资金锪百分比如下表： 工程项目收益表 工程项目 A B C D 收益 15 10 8 12 由于某种原因，决定用于项目 A 的投资不大于其他各项投资之和而用于项目 B 和 C 的投资要大于项目 D 的投资。试确定全文该公司收益最大的投资分配方案。 建立数学模型： 设 x1、 x2 、x3 、x4 分别代表用于项目 A、B、C、D 的投资百分数。 max f0.15x10.1x20.08 x30.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2 x3- x4≥0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 实例 3：运输问题 有 A、B、C 三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。三个厂每天生产食品箱数上限如下表： 工厂 A B C 生产数 60 40 50 四个市场每天的需求量如下表： 市场 甲 乙 丙 丁 需求量 20 35 33 34 从各厂运到各市场的运输费元/每箱由下表给出： 市 场 甲 乙 丙 丁 工 A 2 1 3 2 厂 B 1 3 2 1 C 3 4 1 1 求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。 建立数学模型： 设 ai j 为由工厂 i 运到市场 j 的费用，xi j 是由工厂 i 运到市场 j 的箱数。bi 是工厂 i 的产量，dj 是市场 j 的需求量。 b 60 40 50 d 20 35 33 34 s.t x i j≥0 当我们用 MATLAB 软件作优化问题时，所有求 maxf 的问题化为求 min-f 来作。约束 g i x≥0，化为 –g i≤0 来作。 上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量 x 的线性函数。形如： 1 min f T X s.t A X≤b Aeq X beq lb≤X≤ub 其中 X 为 n 维未知向量，f Tf1f2…fn为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵 A 为 m×n 矩阵，b 为其右端 m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。lbub 为自变量取值上界与下界约束的 n 维常数向量。二．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： xlinprogfAb xlinprogfAbAeqbeq xlinprogfAbAeqbeqlbub xlinprogfAbAeqbeqlbubx0 xlinprogfAbAeqbeqlbubx0options xfvallinprog… x fval exitflaglinprog… x fval exitflag outputlinprog… x fval exitflag output lambdalinprog… 说明：xlinprogfAb返回值 x 为最优解向量。 xlinprogfAbAeqbeq 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令 A 、b 。 xlinprogfAbAeqbeqlbubx0options 中 lb ub 为变量 x 的下界和上界，x0 为初值点，options 为 指定优化参数进行最小化。Options 的参数描述： Display 显示水平。 选择’off’ 不显示输出；选择’iter’显示每一 步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最 终结果。 MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数 Maxiter 最大允许迭代次数 TolX x 处的终止容限 xfvallinprog… 左端 fval 返回解 x 处的目标函数值。 xfvalexitflagoutputlambdalinprogfAb Aeqbeqlbubx0 的输出部分： exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解 x 处；若为负值，表示目标 函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。 output 返回优化信息：output.iterations 表示迭代次数；output.algorithm 表示所采用的算法； outprt.funcCount 表示函数评价次数。 lambda 返回 x 处的拉格朗日乘子。它有以下属性： lambda.lower-lambda 的下界； lambda.upper-lambda 的上界； lambda.ineqlin-lambda 的线性不等式； lambda.eqlin-lambda 的线性等式。 三． 举例 例 1：求解线性规划问题： max f2x15x2 s.t 先将目标函数转化成最小值问题：min-f- 2x1-5x2 程序： f-2 -5 A1 00 11 2 b438 xfvallinprogfAb ffval-1 结果： x 23 fval -19.0000 maxf 19例 2：minf5x1-x22x33x4-8x5 s.t –2x1x2-x3x4-3x5≤6 2x1x2-x34x4x5≤7 0≤xj≤15 j12345程序： f5 -1 2 3 -8 A-2 1 -1 1 -32 1 -1 4 1 b67 lb0 0 0 0 0 ub15 15 15 15 15 xfvallinprogfAblbub结果：x 0.0000 0.0000 8.0000 0.0000 15.0000 minf -104例 3：求解线性规划问题： minf5x1x22x33x4x5 s.t –2x1x2-x3x4-3x5≤1 2x13x2-x32x4x5≤-2 0≤xj≤1 j12345程序： f5 1 2 3 1 A-2 1 -1 1 -32 3 -1 2 1 b1-2 lb0 0 0 0 0 ub1 1 1 1 1 xfvalexitflagoutputlambdalinprogfAblbub 运行结果：Exiting: One or more of the residuals duality gap or total relative error has grown 100000 times greater than its minimum value so far: the primal appears to be infeasible and the dual unbounded. The dual residual lt TolFun1.00e-008. x 0.0000 0.0000 1.1987 0.0000 0.0000 fval 2.3975 exitflag -1 output iterations: 7 cgiterations: 0algorithm: lipsol lambda ineqlin: 2x1 double eqlin: 0x1 double upper: 5x1 double lower: 5x1 double显示的信息表明该问题无可行解。所给出的是对约束破坏最小的解。例 4：求解实例 1 的生产计划问题建立数学模型：设 x1、x2 分别为生产甲、乙产品的件数。f 为该厂所获总润。 max f70x1120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0将其转换为标准形式： min f-70x1-120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0 程序： f-70 -120 A9 4 4 53 10 b360020003000 lb0 0 ub xfvalexitflaglinprogfAblbub maxf-fval 结果： x 200.0000 240.0000 fval -4.2800e004 exitflag 1 maxf 4.2800e004 例 5：求解实例 2 建立数学模型： max f0.15x10.1x20.08 x30.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2 x3- x4≥0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 将其转换为标准形式： min z-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 -x2- x3 x4≤0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 程序： f -0.15-0.1-0.08-0.12 A 1 -1 -1 -1 0 -1 -1 1 b 0 0 Aeq1 1 1 1 beq1 lb zeros41 xfvalexitflag linprogfAbAeqbeqlb f-fval 结果：x 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500 fval -0.1300 exitflag 1 f 0.1300 即 4 个项目的投资百分数分别为 50，25，0 25时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达 13。过程正常收敛。 例 6：求解实例 3 建立数学模型： 设 ai j 为由工厂 i 运到市场 j 的费用，xi j 是由工厂 i 运到市场 j 的箱数。bi 是工厂 i 的产量，dj 是市场 j 的需求量。 b 60 40 50 T d 20 35 33 34 T s.t x i j≥0 程序： A2 1 3 21 3 2 13 4 1 1 fA: B 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 010********* 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 D1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000111000000 000000111000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 b604050 d2******* lbzeros121 xfvalexitflaglinprogfBbDdlb 结果： x 0.0000 20.0000 0.0000 35.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 33.0000 0.0000 18.4682 15.5318 fval 122.0000 exitflag 1 即运输方案为：甲市场的货由 B 厂送 20 箱；乙市场的货由 A 厂送 35 箱；丙商场的货由 C 厂送 33箱；丁市场的货由 B 厂送 18 箱，再由 C 厂送 16 箱。最低总运费为：122 元。§2 非线性规划模型一．非线性规划课题 实例 1 表面积为 36 平方米的最大长方体体积。 建立数学模型： 设 x、y、z 分别为长方体的三个棱长，f 为长方体体积。 max f x y 36-2 x y/2 xy 实例 2 投资决策问题 某公司准备用 5000 万元用于 A、B 两个项目的投资，设 x1、x2 分别表示配给项目 A、B 的投资。预计项目 A、B 的年收益分别为 20和 16。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为 2x12x22x1x22.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。 建立数学模型： max f20x116x2-λ2x12x22x1x22 s.t x1x2≤5000 x 1≥0x2≥0 目标函数中的λ≥0 是权重系数。 由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。 非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例 1 为无约束问题，实例 2 为有约束问题。二．无约束非线性规划问题： 求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法Search method和梯度法Gradient method. 1．fminunc 函数 调用格式： xfminuncfunx0 xfminuncfunx0options xfminuncfunx0optionsP1P2 xfvalfminunc… xfval exitflagfminunc… xfval exitflagoutputfminunc… xfval exitflagoutputgradfminunc… xfval exitflagoutputgradhessianfminunc… 说明：fun 为需最小化的目标函数，x0 为给定的搜索的初始点。options 指定优化参数。 返回的 x 为最优解向量；fval 为 x 处的目标函数值；exitflag 描述函数的输出条件；output 返回优化信息；grad 返回目标函数在 x 处的梯度。Hessian 返回在 x 处目标函数的 Hessian 矩阵信息。 例1：求 程序：编辑 ff1.m 文件 function fff1x f8x1-4x2 x123x22 通过绘图确定一个初始点： xymeshgrid-10:.5:10 z 8x-4y x.23y.2 surfxyz 选初始点：x000 x000 xfvalexitflagfminuncff1x0结果：x -4.0000 0.6667 fval -17.3333 exitflag 1例 2：程序：编辑 ff2.m 文件： function fff2x f4x125x1x22x22 取初始点：x011 x011 xfvalexitflagfminuncff2x0结果： x 1.0e-007 -0.1721 0.1896 fval 2.7239e-016 exitflag 1例 3：将上例用提供的梯度 g 最小化函数进行优化计算。修改 M 文件为： function fgff3x f4x125x1x22x22 if nargut gt1 g18x15x2 g25x14x2 end 通过下面将优化选项结构 options.GradObj 设置为’on’来得到梯度值。 optionsoptimset‘Gradobj’’on’ x011 xfvalexitflagfminuncff3x0options结果： x 1.0e-015 -0.2220 -0.2220 fval 5.4234e-031 exitflag 1 2． minsearch 函数 调用格式： xfminsearchfunx0 xfminsearchfunx0options xfminsearchfunx0optionsP1P2 xfvalfminsearch… xfval exitflagfminsearch… xfval exitflagoutputfminsearch… xfval exitflagoutputgradfminsearch… xfval exitflagoutputgradhessianfminsearch…说明： 参数及返回变量同上一函数。 对求解二次以上的问题，fminsearch 函数比 fminunc 函数有效。 3． 多元非线性最小二乘问题： 非线线性最小二乘问题的数学模型为： 其中 L 为常数。 调用格式： xlsqnonlinfunx0 xlsqnonlinfunx0lbub xlsqnonlinfunx0options xlsqnonlinfunx0optionsP1P2 xresnormlsqnonlin… xresnorm residualexitflaglsqnonlin… xresnorm residual exitflagoutputlsqnonlin… xresnorm residualexitflag outputlambdalsqnonlin… xresnorm r esidualexitflag outputlambdajacobianlsqnonlin… 说明：x 返回解向量；resnorm 返回 x 处残差的平方范数值：sumfunx.2；residual 返回 x 处的残差值 funx；lambda 返回包含 x 处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian 返回解 x 处的 fun 函数的雅可比矩阵。 lsqnonlin 默认时选择大型优化算法。 Lsqnonlin 通过将 options.LargeScale 设置为’off’来作中型优化算法。其采用一维搜索法。 例 4．求 minf4x2-x12x2-42 ，选择初始点 x011 程序： f 4x2-x12x2-42 xreshormlsqnonlinf11 结果： x 3.9896 3.9912 reshorm 5.0037e-009 例 5：求 ，选择初始点 x00.20.3 求解：先编辑 ff5.m 文件： function fff5x k1:10 f22k-expkx1-expkx2 然后作程序：x00.20.3 xresnormlsqnonlinff5x0 结果 ： x 0.2578 0.2578 resnorm 124.3622二． 有约束非线性规划问题： 数学模型： min Fx s.t Gi x ≤0 i1…m Gj x 0 jm1…n xl≤x≤xu 其中：Fx为多元实值函数，Gx为向量值函数， 在有约束非线性规划问题中， 通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求并作为迭代过程的基础。其基于 K-T 方程解的方法。它的 K-T 方程可表达为： 方程第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消。由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子λi 来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异。 调用格式: xfminconfx0Ab xfminconfx0AbAeqbeq xfminconfx0AbAeqbeqlbub xfminconfx0AbAeqbeqlbubnonlcon xfminconfx0AbAeqbeqlbubnonlconoptions xfvalfmincon… x fval exitflagfmincon… x fval exitflag outputfmincon… x fval exitflag output lambdafmincon… 说明：xfminconfx0Ab返回值 x 为最优解向量。其中：x0 为初始点。Ab 为不等式约束的系数矩阵和右端列向量。 xfminconfx0AbAeqbeq 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令 A 、b 。 xfminconf x0AbAeqbeqlbub nonlcon options 中 lb ub 为变量 x 的下界和上界； nonlconfun由 M 文件 fun.m 给定非线性不等式约束 c x ≤0 和等式约束 gx0； options 为指定优化参数进行最小化。 例 6：求解：min 100x2-x12 21-x12 s.t x1≤2 x2≤2 程序：首先建立 ff6.m 文件： function fff6x f100x2-x2221-x12然后在工作空间键入程序： x01.11.1 A1 00 1 b22 xfvalfminconff6x0Ab 结果： x 1.0000 1.0000 fval 3.1936e-011 例 7：求解： 首先建立目标函数文件 ff7.m 文件： function fff7x f-x1x2x3 然后将约束条件改写成如下不等式： -x1-2x2-2x3≤0 x12x22x3≤72 在工作空间键入程序： A-1 –2 –21 2 2 b072 x0101010 xfvalfminconff71x0Ab 结果： x 24.00.
【篇2】两动一定最小值问题的方法
3.8函数的最大值和最小值（第1课时）
容县高中 封云
文科选修数学第三册（选修一）
【教材分析】
本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用
本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．
高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.
【教学目标】
根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：
1．知识和技能目标
（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．
（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．
（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．
2．过程和方法目标
（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．
（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．
3．情感和价值目标
（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．
（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．
【教学重点、难点】
1．教学重点
基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：
（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；
（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．
2．教学难点
高二年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是
(1)发现闭区间上的连续函数f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；
(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．
3．教学关键
本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．
【教法选择】
关于教法与学法：
（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；
（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个有图案的课件，让学生在函数图象的变化中观察、比较，发现数学本质；
（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．
【学法指导】
对于求函数的最值，已经和学生共同通过观察图像的情况，发现怎样会有最大值的方法，剩下的问题就是没有图像，通过怎样的计算方法来找最值？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．
【教学过程】
本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．
教学环节
教 学 内 容
设 计 意 图
一、创 设 情 境，铺 垫 导 入
1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．
如图,有一长80cm,宽60cm
的矩形不锈钢薄板,用此薄板折
成一个长方体无盖容器,要分别
过矩形四个顶点处各挖去一个
全等的小正方形，按加工要求,
长方体的高不小于10cm且不大于
20cm．设长方体的高为xcm,体积
为Vcm3．问x为多大时,V最大?
并求这个最大值．
解：由长方体的高为xcm，
可知其底面两边长分别是
（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).
所以体积V与高x有以下函数关系
V=（80－2x）（60－2x）x
=4（40－x）（30－x）x.
2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．
以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，．
通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．
实际问题中，在设元、列式后将这个实际问题转化为求函数在闭区间上的最值问题．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识不能解决这一问题，从而激发起学生的学习热情．
教学环节
教 学 内 容
设 计 意 图
二、合 作 学 习，探 索 新 知
1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2．如图为连续函数f(x)的图象：
在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？
3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？
归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f (x)在(a,b)内的极值；
（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．
为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．
为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．
学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．
在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．
教学环节
教 学 内 容
设 计 意 图
三、指 导 应 用，鼓 励 创 新
例1 求函数y=x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
解： y′=4 x3－4x，
令y′=0，有4 x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
－2
(-2,-1)
－1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′
—
0
＋
0
－
0
＋
↘
↗
↘
↗
y
13
4
5
4
13
从上表可知，最大值是13，最小值是4．
思考：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？
分析：在(a,b)内解方程f′(x)=0, 但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值．
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：
（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
解法2：
y′=4 x3－4x
令y′=0，有4x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1．
x=－1时，y=4,
x=0时，y=5,
x=1时，y=4．
又 x=－2时，y=13，
x=2时，y=13．
∴所求最大值是13，最小值是4．
课堂练习：
求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：
（1）y=x－x3,x∈[0,2]；
（2）y=x3＋x2－x，x∈[－2,1]．
解决例1的方法并不唯一，还可以通过换元转化为学生熟知的二次函数问题；而这里利用新学的导数法求解，这种方法更具一般性，是本节课学习的重点．
“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂．思考题的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．
对例题1用简化后的方法求解，便于学生将它与第一种解法形成对照，使得问题的解决更简单明快，更易于操作，更容易被学生所接受．
课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握．同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯．对学生完成练习情况进行评价，使所有学生都体验到成功或得到鼓励，并据此调控教学．
教学环节
教 学 内 容
设 计 意 图
三、指 导 应 用，鼓 励 创 新
例2如图,有一长80cm,宽60cm
的矩形不锈钢薄板,用此薄板折
成一个长方体无盖容器,要分别
过矩形四个顶点处各挖去一个
全等的小正方形，按加工要求,
长方体的高不小于10cm不大于
20cm,设长方体的高为xcm,体积
为Vcm3．问x为多大时,V最大?
并求这个最大值．
分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最大，可用本节课学习的导数法加以解决．
例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．
四、归纳小结，反思建构
课堂小结：
1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值;
2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;
3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定．.
作业布置：P134 1．
选做题：已知抛物线y =4 x2的顶点为O，点A（5，0），倾斜角为的直线与线段OA相交，且不过O、A两点，l交抛物线于M、N两点，求使△AMN面积最大时的直线l的方程．.
通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．
课外作业分必做题与选做题，因材施教、及时反馈，让不同的学生在数学上得到不同的发展．同时有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．
【教学设计说明】
本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．
1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．
2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．
3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．
4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．
【篇3】两动一定最小值问题的方法
将军饮马—最短路径最值问题教学设计一、教学内容解析
为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题.
初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。
基于以上分析，本节课的教学重点确定为：
[教学重点]
利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
二、教学目标解析
新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：
[教学目标]
能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.
[目标解析]
达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.
三、学生学情诊断
八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.
解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.
在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.
教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：
[教学难点]
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
四、教学策略分析
建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.
教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.
学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.
五、教学基本流程
探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考
六、教学过程设计
（一）探索新知
1、建立模型
问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？
师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线
追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？
师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：
（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；
（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小
［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.
2、解决问题
问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？
师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示
如果学生有困难，教师作如下提示：
（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？
（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？
学生在老师的启发引导下，完成作图.
［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.
3、证明“最短”
问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？
师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.
由轴对称的性质可知：
BC=B´C BC´.=B´C´
∴AC+BC=AC+B´C=AB´
AC´+BC´=AC´+B´C´
当C´与C不重合时
AB´＜AC´+C´B´
∴AC+BC＜AC´+C´B
当C´与C重合时
AC+BC=AC´+C´B
总之，AC+BC≤AC´+C´B
即AC+BC最短
［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.
4、小结新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？
师生活动：学生回答，并相互补充.
［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.
（二）运用新知
如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.
师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.
［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.
（三）拓展新知
有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？
师生活动：
1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：
（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？
（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.
2、分组讨论，师生共同分析.
3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.
［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.
（四）提炼新知
师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1、本节课研究问题的过程是什么？
2、解决上述问题运用了什么知识？
3、在解决问题的过程运用了什么方法？
4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？
［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
（五）课外思考
将军又提出一个问题：
如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？
［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但学习将军这种喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！
本文来源：http://www.sippr-abrasives.cn/zhuantifanwen/gongwenfanwen/2023/0224/50712.html